3.4 取样频率的转换

我们知道，对于某一给定的模拟信号，取样频率越高，取样后所获得的样值越多，编码后的比特率也就越高。在某些情况下，在已经获得了数字信号之后，可能希望通过降低原有数字信号的取样率来降低信号的码率，例如由于传输带宽的变化，希望从传送高分辨率（720×576）的图像改为传送低分辨率（360×288）的图像。这种由高取样率的样值去推算低取样率样点数值的技术，在数字信号处理中称为抽取，或下取样。相对应地，由低取样率的样值去估计较高频率的取样点上的数值，这种技术称为内插，或上取样。如何在降低取样率时尽可能地减少混叠失真，以及如何在内插时获得尽可能准确的估值，是本节讨论的主要内容。

3.4.1 下取样

下取样也称为亚取样。图3-5（a）是一个离散时间（或空间）信号的频谱，其取样频率f1略高

于奈氏频率。如果我们希望将取样频率降低到f2＝f1/n（n为正整数），而f2低于奈氏频率时，不能简单地采取隔n个样点抽取一个、丢弃其余样点的做法，因为这样作完全等效于用f2作为取样频率直接对原模拟信号进行抽样，将会造成频谱的混叠。对频谱如图（a）所示的离散时间信号进行2抽1（每隔1个样点丢弃1个样点）以后造成混叠失真的情况如图（b）所示，图中阴影部分为频谱混叠的区域。当图中的横坐标以对取样频率归一化的角频率ω度量时，0～2π表示了频谱的一个周期，[0，π）区间对应于正频率部分，[π，2π）区间对应于负频率部分。在数字信号处理中，对于周期性延拓的频谱，通常只针对1个周期进行讨论。

在上面的例子中，一种避免混叠失真的做法是，先用一个截止频率为f1/2的低通滤波器将图3-5（a）所示频谱的基带部分取出，恢复出原来的模拟信号；然后用另一低通滤波器将此模拟信号的带宽限制到f2/2，再重新取样得到取样频率为f2的样值[见图3-6（a）]。实际上，我们可以省略恢复模拟信号的中间步骤，将图中的两个滤波器合并为一个，其截止频率由带宽较窄的滤波器确定（f2/2）。此滤波器称为抗混叠滤波器。

图3-6（b）从频谱的角度描述了下取样的实现过程。其中X（ejw）是输入信号x（n）的频谱；|H（ejw）|是抗混叠滤波器的频率响应，它的截止频率为f1/2n，n为下取样的比值（图中n＝4）；|W（ejw）|为通过抗混叠滤波器后信号w（n）的频谱，它的最高频率被限制到下取样频率（f1/n）的1/2；|Y（ejw′）|为经下取样后的信号y（m）的频谱。值得注意，图中的ω和ω′是分别相对于f1和f2归一化的。

抗混叠滤波器通常用FIR数字滤波器来实现，它的基本构成如图3-7所示，其中z－1代表一个时钟周期的延时。由图可知，滤波器的输出信号为

不难看出，该滤波器的冲激响应为｛a（i），i＝0，1，…，M－1｝，是有限长度的。FIR滤波器在工作时通常要对w（n）每一个样值进行计算（加权、求和），但在下取样中使用时，有数量众多的样值最终要被丢弃，对这些将要被丢弃的样点值进行计算是一种资源的浪费。如果将FIR和再抽样结合在一起，则可以有效地解决这个问题。此时，图3-7中的延时单元按输入信号的时钟频率f1工作，而乘法器和加法器则工作在较低的输出信号的时钟频率f1/n上。

3.4.2 上取样

取样定理告诉我们，以不低于奈氏频率取样得到的离散时间（或空间）信号，经过截止频率为1/2取样频率的理想低通滤波器，可以完全（无差错）地恢复出原来的模拟信号来。图3-8说明了这个过程。由于理想低通的冲激响应为sinc函数，信号的每个样值（图中的黑点）通过滤波器后形成一个sinc脉冲，这些sinc脉冲相互叠加的结果就得到原来的模拟信号f（t）。由此可见，通过理想低通滤波器，我们可以获得输入样值之间任意点的内插值，截止频率为1/2取样频率的理想低通滤波器可以称为理想内插滤波器。由于理想低通是不能实现的，只能采用矩形窗或其他形式的低通窗截断后的sinc函数作为内插滤波器的冲激响应；而且在上取样中，我们只需要得到在上取样频率样点（而不是任意点）上的内插值，因此内插滤波器可以采用FIR数字滤波器，并不必须是模拟滤波器。

图3-9给出了上取样的实现过程。首先在取样率为f的输入序列中插入零值样点，使其达到要求的输出取样率f′＝Lf；然后对这些样点上的值进行估计，这可以让此序列通过内插滤波器来实现。图下方左列给出了系统各点的时间波形（L＝3），右列给出了它们对应的频谱。由图看出，插入零值样点并不改变信号的频谱，而只改变了观察的频率区间。由于取样频率上升了3倍，一个用上采样频率f′归一化的频谱周期对应于原取样频率f下的三个周期。经过内插低通滤波器h（m）之后，只有w（m）的低端频谱保留，从而得到在上取样频率下的信号y（m）。

假设图3-9的内插滤波器的冲激响应h（m）如图3-10（a）所示，这里m代表与取样点相对应的时间t的离散值。h（m）的包络是一个sinc函数，由于滤波器的截止频率为原取样频率的1/2，即f/2，所以h（m）的主瓣宽度由输入信号的取样周期（1/f）决定。而滤波器需要内插出取样频率为3f的样点值，因此h（m）的取样周期应为1/3f。按照数字滤波器的一般设计方法，滤波器的所有单元都应工作在较高的频率f′＝3f上，但是如果采用图3-10（b）所示的分相位内插的方法，各单元的工作频率则可以降低到f。由图看出在这种方法中，滤波器冲激响应h（m）由h0（m）、h1（m）和h2（m）三个并行分支组成，h1（m）和h2（m）相对于h0（m）分别有1/（3f）和2/（3f）的延时。取样开关每隔1/f′切换一个分支，依次选择不同分支的输出。

线性内插是一种广泛使用的内插方法，它利用两相邻样值的加权和内插出二者之间任意位置上的数值，每个样值的权值与该样值到内插位置的距离成反比。假设对图3-11（a）所示的图像进行2∶1上取样，其中，深色方块为输入图像的像素，浅色方块为需要内插出的像素。对于像素b有

b＝round[（G＋H）/2]（3-32）

由于b与G和H的距离相等，因此使用了相同的权值。从内插滤波器的角度来看，（3-32）式代表的是一个双抽头的FIR滤波器，其冲激响应如图（b）的上一行所示。让我们再来看另一种内插方法：每个半像素位置（如b，h，m，s）上的值都由一个冲激响应（权值）为｛1/32，－5/32，5/8，5/8，－5/32，1/32｝的6抽头FIR滤波器内插出来。例如，

b＝round[（E－5F＋20G＋20H－5I＋J）/32]（3-33）

图（b）的下一行画出了该滤波器的冲激响应。比较图3-11（b）所示的两个冲激响应，h2比h1更接近于理想内插滤波器的冲激响应（sinc函数），因此，其对应的内插结果更接近于原模拟信号在新抽样频率上的样值。

3.4.3 分数比率转换

在有些情况下，上取样或下取样的倍数不一定是整数。此时，取样频率从f1＝mf到f2＝nf（m与n之比不为整数）的转换，可分成两个整数比率的转换进行。第一步将f1内插到数值为f1和f2的最小公倍数的频率mnf上；第二步再对所得到的序列用f2重新取样。图3-12表示出这一过程。图中第一个滤波器为内插滤波器，第二个为重新取样前的反混叠滤波器。在实际实现时，这两个滤波器可以合并为一个，其截止率为f1和f2之中较低的一个。