习题三

1.设离散信源输出两个符号的序列，这两个符号从符号集A＝｛0，1｝中随机地选取，并且P（1）＝0.8，P（0）＝0.2，

（1）若这两个符号的条件概率为P（0/1）＝0.1和P（1/0）＝0.4，求该信源的序列熵；

（2）若该信源是无记忆的，求该信源的序列熵，并与（1）的结果进行比较。

2.设具有4个等级的量化器的输出序列为｛1，1，3，4，2，1，2，1，3，1，1，2，4，2，1，1｝，

（1）按无记忆信源计算其熵；

（2）按一阶马尔柯夫信源计算其熵，并与（1）的结果进行比较。

（提示：马尔柯夫信源熵等于条件熵的加权平均，即熵以信源所处的某个状态为条件，而加权值等于此状态的概率。）

3.设x（n）的傅氏变换DFT为X（ejω），

（1）证明x（n）经2∶1抽取后的频谱为；

（2）证明x（n）经1∶2内插后的频谱为X（ej2ω）；

（3）若X（ejω）如图所示，画出经抽取和内插后的幅度谱示意图。

4.求（3-32）式和（3-33）式所示的内插滤波器的传输函数H（ejw），并用Matlab画图。根据图比较这两种方法的优劣。

5.将线性内插方法扩展到二维信号，就得到双线性内插方法。它利用相邻4个像素（如下图中深色方块A，B，C，D）内插出4者之间区域内任意点（如下图中a）上的数值，具体做法是：在一个方向（如行方向）上利用线性内插分别求出与a同列、与A、B同行和与a同列、与C、D同行的两个像素值；再将这两个像素值在另一个方向（列方向）上通过线性内插求出a的数值。根据上述思想，写出用A、B、C、D表示的a的内插值。

6.为什么内插滤波器和抗混叠滤波器通常都使用FIR滤波器，而不是IIR滤波器？

7.用公式说明为什么图3-15与图3-13相比，解码器输出更接近于编码器输入（残存量化误差小）？

8.在具有运动补偿的帧间预测编码中，如果运动矢量估计得不准确产生的后果是什么，会不会引起解码后的图像失真，为什么？

9.根据图3-21所示，请说明

（1）初始（第一步）的搜索点是如何确定的？

（2）第二步的搜索点是如何确定的？

（3）为什么选择左上方点进行第3步搜索？

（4）搜索是如何中止的？是否使用了早期中止策略？

10.（1）若Σ是对称实数矩阵，且φ是N维矢量，证明Δφ[φT ΣX φ]＝2ΣXφ和Δφ[φTφ]＝2φ；

（2）利用上述结论，在MMSE准则下，证明（3-61）式。

11.设有一个信源矩阵X如图所示。

（1）用下述正交矩阵进行变换，称为哈达玛变换。求上述信源矩阵的变换系数矩阵Y；

（2）根据以上结果说明哈达玛变换是否具有能量集中特性，能否用于数据压缩；

（3）写出哈达玛反变换的公式。

12.已知信源协方差矩阵为

试计算最佳变换的变换矩阵T，并求信号经变差矩阵ΣY。

13.用C或Matlab编程计算下列图像块的DFT和DCT。从数据压缩的角度，对这两个变换进行比较。

14.对图中所述三种8×8的亮度图形进行DCT变换后，估计（不必实际计算）在系数矩阵的哪些位置上，变换系数有较大数值。

15.说明第2章习题4图中两个正弦光栅的DCT频率谱是否相同？解释原因。

16.指出图3-34中的每一个步骤与3.7.3节中的哪一个（或哪几个）公式相对应，从而说明在TDAC编码过程中混叠失真是如何抵消的。

17.设一图像经图3-37所示的多层小波分解后，其系数如图所示。按照EZW算法，

（1）确定初始门限值，并进行第1次主扫描，得到显著系数表；

（2）进行第1次辅扫描，得到加细量化表；

（3）缩小门限值，继续进行上述两步扫描，直至门限值为1。写出最后得到的编码码流。

18.设有一离散无记忆信源

（1）计算该信源的熵；

（2）为该信源构造一霍夫曼码，并计算平均码长及编码效率；

（3）为什么该码的编码效率小于1？试总结在什么情况下，霍夫曼码的编码效率能够达到1？（提示：符号Si携带的信息量是多少？表示Si的码字的码长是多少？）。

19.根据下述码表产生的码字序列，在译码时是否是无歧义的？说明原因。

20.假设有下表所示的5种运动矢量，其出现的概率如表所示。试用一般算术编码对MV序列｛－2，－1，0，2｝进行编码，

（1）给出编码过程和最后输出的码字（允许最后一位不能正确解码）；

（2）输出码字需要用几比特表示？编码效率为多少？

（3）同一序列若采用霍夫曼编码，编码效率为多少？