第8章 他……他是高一学生?

在课室无数双惊讶的目光注视下,秦思源再次转身,刷刷刷地在白板上写下了第一个词——“发现乐趣!”

“发现乐趣不难理解,如果不喜欢数学,是很难真正体会解题是多么快乐的事!”

“数学竞赛不仅仅考验智商,更会让人从中发现数学之美和乐趣,很多题目的解法中就蕴含着数学的优雅之美,比如运用拉格朗日乘数法优化问题,会使问题变得简洁有序;比如将实际问题抽象为数学模型、再通过逻辑推导还原其现实意义,这过程就充满了创造力之美!”

“兴趣是最好的老师,只有沉浸在数学的乐趣中,我们才会在遇到难题时变得兴奋,想将之攻克,而不是畏缩!在遇到挫折时斗志昂扬永不言败,而不是痛苦难受!所以‘发现乐趣’是第一前提!我们要学会发现数学的乐趣!”

这也是秦思源自己的切身体会,哪怕是着明确的目标与奋斗的理由,但如果不是发自内心地喜欢数学、能从解决难题中发现乐趣,他又怎可能十几年如一日地将所有的时间精力都投注其中?

秦思源紧接着又写了第二个词:

“敢于创新!”

“敢于创新,甫一听起来很像是老生常谈,相信在座也有不少人的第一感觉就是嗤之以鼻,但你们真的明白其中的含义吗?所谓的敢于创新,并不是以一些别人没用过、生僻的方法来解题就算创新,创新的关键在于突破常规,想别人不敢想。我问问,试过逆向运用费马小定理来求逆元的同学请举手。”

全场一片寂静,没人举手。

费马小定理是高中数学选修课本里与欧拉定理一同被匆匆带过的内容,仅占了两页的篇幅,绝大多数普通高中生都不会注意到它的存在,数学竞赛生倒是学过,偶尔会用它来解决较大数的整除或同余问题。

但说到逆用费马小定理……哪怕是数竞经验颇为丰富、一直以高姿态冷眼旁观的周霖霄,也傻眼了。

他还真没想过逆用费马小定理,甚至连一中指导数竞的老师们,也从没提过什么“逆用费马小定理”!

这玩意能逆用来求逆元?怎么个逆用法?

门外的秦元风也皱起了眉,低声嘟囔道:“逆向运用费马小定理来求逆元?有这个用法的吗?”他专注的是高考数学方向,不是数竞方向,虽然也知道什么是费马小定理,但如何逆用倒还真不清楚——可以说,儿子提出来的这个问题击中了他的知识盲区。

“利用费马小定理中的指数形式来求逆元,确实是可以的,只是这种用法极为少见,一般求逆元都是直接用扩展欧几里得算法。”旁边一个声音忽然插了过来。

秦元风转头,见是另一个竞赛辅导老师徐泰鸿。徐泰鸿年过四旬,头顶却已光秃秃,使他看起来更显老些,但他圆圆的脸上常挂着笑容,使他看起来很有亲和力,也因而很受学生欢迎。

“老徐,你怎么来了?”

徐泰鸿笑眯眯道:“放心不下这边,就让班上的学生先休息和复盘下刚才讲解的题目,我趁机溜出来看看能不能搭把手。现在讲课是谁?看着很年轻,就像个高中生,哦,当然不可能是高中生,应该是像林致颖那种天生娃娃脸的类型吧?秦老师你从哪里找来的救急帮手,我听了一会,他的讲课水平挺不错的,挺会带动情绪!”

秦元风也不知道该怎么解释,旁边的沈兰萱忍不住悄声道:“这是我和老秦的儿子秦思源。”

徐泰鸿愣了愣:“你们的儿子,不是才上高一吗?”

“是啊……”沈兰萱同样满心疑惑,但看到老徐这么惊讶的样子,又有些忍不住心中得意:“刚上高一两个多月。”

徐泰鸿又再次看向课室里面、站在讲台上从容而自信的秦思源,不由失声轻呼道:“他……他是高一学生?”

敢情这正在讲课的“老师”不是天生娃娃脸,而是真的还未成年啊!

找刚上高一的孩子来临时顶替去上课?你们还真敢做!

里面的学生怕都多数都比这秦思源大一岁两岁好吧!

这么乱来,被来宾们识破那可不是闹着玩的!

徐泰鸿并不是老板,但作为核心员工,他对这新加入的公司还是颇有责任感的,又惊又急之下,忍不住低声道:“你们这样做实在是……实在是……”

秦元风无奈道:“我也不知道这小子敢这样乱来,他自己跑进去的,我和他妈妈赶到时,他已直接开讲了,还好他没作自我介绍,目前应该没人知道他还是个高中生……”

徐泰鸿心头一松,原来里面还没人知道秦思源是高中生,也对,这小子展现出来的气质与讲课水平实在很有欺骗性,连自己都只是认为他“天生娃娃脸”,没敢往他还是高中生上想,里面的来宾们应该不会发现真相吧?

“就怕纸终究包不住火……”老徐目光一转,只见整个课室里的人都全神贯注地听着秦思源讲课,连那些不怎么懂数学的家长们,也正襟危坐,避免打扰到注意力全被吸引住的儿女们。

老徐话说到一半又止住了。

目前来看,似乎还没有露馅的迹象,要不……再看看能不能蒙混过关?

“……算了,现在只能见步行步了。”

“是啊,但愿能度过这一关。”秦元风苦涩地点点头,他也考虑到贸然闯进去反倒容易弄砸这次试听课,才耐着性子与老婆在外面“按兵不动”的。

说到这里,秦元风忽然想起自己班上的学生们还在一楼课室等着自己呢,他纠结地看了眼课室里面的秦思源,终究还是说道:“我先回去讲课,兰萱你是待会晚上7点半才有课对吧?你先照看着这边,有急事就响我手机。老徐你要不也回去讲课?”

老徐想了想却没离开:“我再观察一会。”

秦元风点点头,他担心下面的学生等得太久影响不好,也顾不上多说,便匆匆赶回一楼去授课。

徐泰鸿凝神静气,继续听着201课室里面的动静。

他实在很好奇,一个高一的学生,真能唬得住里面那么多家长和学生吗?

当然,他选择暂且留下来,也抱着万一出了意外,自己要去救火的心态。

只听里面的秦思源道:“逆向运用费马小定理的核心,在于利用其结论ap−1≡1 (mod p)来简化计算或者解决数论问题,可用于求模逆元、快速幂取模,解线性同余方程等,一会我再举例说明。刚才我说的是思维,接下来就是方法技巧!”

他说着又在白板上写下第三个词:“穷尽思考!”

“穷尽思考,什么叫穷尽思考?对经典的题目,不但彻底地想明白它到底要考什么知识点,更要穷尽所学,以不同的方法来将之解决。这与刚才的敢于创新思维其实是相辅相成的。只有敢想敢创新,才会想到更多的奇思妙想来解题,进而不断地锻炼自己的数学思维、促进知识的真正融会贯通!”

“我举一道非常经典的组合题目为例,只要接触过奥数,都会见过这个题目。”

秦思源笔尖划动,很快一道题目便出现在白板上:

“证明:任意6人中,总存在3个相互认识或者3人相互不认识。”

在场的学生基本上都有一定的数竞基础,看到这题目顿时纷纷点头,这么简单而经典的入门级图论竞赛题,几乎人人都能在第一时间想到了那标准答案。老师都是以这题为例,以期让学生深刻地理解到组合数学中的经典解题思路。

秦思源留意到众学生的神色,他轻轻一笑:“这题的证明方法相信大家都认识,用图论中的拉姆齐数R(3,3)=6和鸽巢原理就能证明,并没什么难度。那我问问,除了这个标准的证法外,还有没有人想出其他证明方法?”

众学生都怔了怔。

这题目之所以经典,就在于它题干精简且每个数字都非常精妙,比如为什么题目里是“任意6人”,而不是“任意5人”,就是因为R(3,3)=6是第一个非平凡的拉姆齐数,也是保证结论成立的最小人数。

正是因为题目太过精妙,几乎每个学奥数的人在做这题目时都碰过钉子,然后看到利用图论鸽巢原理和拉姆齐数这个标准证明方法后就拍案叫绝。

对于大多数学生而言,既然知道了这样最简便正确的证明方法,谁又会再浪费时间去想其他证明方法?

何况除了这种经典证法,似乎没哪本参考书或者习题书,又或者哪个老师在讲解时,用过其他证明方法。

“难道真有其他证明方法吗?”一向自视甚高的周霖霄眉头紧锁,陷入了沉思,但哪怕是他这样数学天赋极佳、做过数以千计题目的尖子生,想在短时间内想到其他证明方法也是不可能的事。

他在懊恼之余甚至有点被触动了。对哦,为什么自己知道了最经典的证法后,就没再试过钻研这题目,看看是否存在其他证明方法?

他不由再次以异样的目光看向台上的秦思源,这个长着娃娃脸,看起来年轻得过分的老师,似乎真有些本事。

秦思源温和的声音在寂静的课室里回响:

“我从第一次看到这题目起,到后来学到越来越深的数学知识,都会不时回顾这个题目,试着用不同的方法证明它。最终,我想到了36种证明方法。”

36种证明方法!

在场响起了连片倒抽凉气的声音,哪怕不少家长不懂什么奥数题,但一个数学题目能用36种方法来证明,听着就像天方夜谭般不可思议!

学生们更是哗然。

有个男生忍不住失声低呼道:“这题目居然有36种证明方法?绝对不可能!”

旁边也跟着应和:“就是啊,如果有人能想到一个新证明方法我都觉得很了不起了,36种,怎么可能!”

“吹牛吧,这一题真能想出36种全部正确的证明方法,估计小蓝本(《数学奥林匹克小丛书》)的编辑组都会赶来给他下跪了。”

“哈哈哈,何止小蓝本,就算是《奥赛经典》的主编沈教授来了都得膜拜他叫爸爸。”

连课室外的徐泰鸿都听得连连摇头,觉得这小子吹牛吹过头了。

沈兰萱是英语老师,不擅长数学,对奥数题目更是两眼一抹黑,几乎完全不懂。

此时她听到里面的骚动,又瞧见徐泰鸿眉头皱起,顿时便担心起自己的儿子来,忍不住小声问:

“徐老师,你也觉得那什么题目,真不可能有36种证明方法?”

旁边的秦冰言一直没说话,在严厉的老妈面前,强悍如她都不会随便开口插嘴,但她心里关心弟弟,也紧张地看向徐泰鸿。

徐泰鸿耸耸肩膀:“我水平有限,花上一两周,再想出两至三种证明,应该还有可能,但36种……这样说吧,就算向着全国所有数学家公开悬赏,估计也难以找到36种完全正确的证明方法来证明这道题目。”

沈兰萱一听顿时急了,她跺着脚道:“哎,这小子,哗众取宠也不应该采取这样的方法啊!”

她又不安地看向徐泰鸿:“徐老师,你是不是进去……”

徐泰鸿点了点头,瞥了眼依然沉静如水地站在讲台上的秦思源,却觉得这少年身上有种莫名的自信从容气势,让他那句“我就进去解围吧”的话怎么也说不出来。

“要不……还是再等等看?”

201课室里,秦思源一直微笑着不说话,任由着下面的学生议论个不停。

大概是他在安静中透出的强大自信,台下的骚动终于慢慢停止下来。

秦思源这才从容地迎着数十双疑惑甚至带着质疑的目光,微笑说道:“数学是世间最完美最严谨最有逻辑的语言,它的答案只能通过严密的计算推导出来,哪一步错了,都不可能得到正确的答案。我的证明方法对不对,大家可以自行判断。我先写几种,在写的同时会进行解释,供大家参考。”

秦思源转身,笔动惊风雨!